1
Lock Digitale leeromgeving

Lesidee Exponentieel dobbelen

Doelen:
  • De leerling ziet in dat de wat vreemde curve die hoort bij radioactief verval op eenvoudige wijze tot stand komt, namelijk via een toevalsproces.
  • De leerling weet ziet dat er verschillende processen mogelijk zijn, met verschillende waarden voor de kans (die kans hoeft niet per se gelijk te zijn aan ½).
  • Je ziet dat mooie gladde curves horen bij grote aantallen en schokkerige curves bij kleine aantallen.

Praktische lesindeling uitgevoerde les met punaises:

  • Groepjes van 4 krijgen een doosje met ongeveer 100 punaises, een deksel van een doos printerpapier en een vel millimeterpapier. Elk groepje heeft een gooier, twee tellers en een grafiektekenaar.
  • De punaises worden in het deksel gegooid, dit voorkomt dat ze op de grond belanden. Omdat ook het beginaantal moet worden geteld, duurt de uitvoering ongeveer 10 minuten. Na nog 5 minuten zijn de grafieken klaar. Elk groepje steekt de grafiek in de lucht.
  • Men is aangenaam verbaasd dat er een grafiek verschijnt die ze nog niet kennen van wiskunde, maar die wel overeenkomt met wat ze in het boek hebben gezien als horend bij radioactief verval. Ook is er tevredenheid over het feit dat de grafieken van de verschillende groepjes sterk op elkaar lijken.
  • In de nabespreking zorg je ervoor dat niet alleen het verband tussen het toevalskarakter en de exponentiële curve aan bod komt, maar ook het feit dat je juist bij de laatste paar punaises niet een glad doorlopende lijn hebt, dat je dan meer afhankelijk bent van wat een enkele punaise toevallig doet.

 Zo is dit ‘proefje’ in een halve les uitgevoerd en nabesproken. Nadeel van de punaises is dat de kans op ongeveer 0,5 ligt. Met dobbelstenen heb je meer mogelijkheden. Zo kun je afspreken dat alleen de 6-en af zijn, of 1 en 2, of alles behalve 6. Dan heb je verschillende ‘halfwaardetijden’.

Resultaten met dobbelstenen

TOA Frank Brinkman van het stedelijk Gymnasium Leiden schrijft: Ik heb met de 350 dobbelstenen die Sietske Zantema gekocht heeft het halveringstijd-experiment gedaan. Zie plaatjes, verticaal het aantal overgebleven dobbelstenen, horizontaal het aantal worpen. Groene lijn is de theoretische ‘halfwaardetijd’, 6 ln(2).

Resultaten met dobbelstenen
Een fit van alle data geeft een kans van 0.1956 om een zes te gooien, een beetje te hoog. Een fit met alleen de eerste 12 punten levert echter 0.1647, dat klopt beter.
Data fit

EXTRA: Verband met overlevingscurven

Bij een dobbelsteen is bij elke worp de kans op een 6 gelijk, dat hangt niet af van de vraag hoe vaak je al hebt gegooid. Dat geldt ook voor de kans dat een bepaalde uraniumkern in het komende jaar gaat vervallen: die kans hangt niet af van de vraag hoe lang de kern al bestaat. Er wordt wel gezegd: “Een toevalsproces (ook een vervalsproces) heeft geen geheugen.” Je kunt ook zeggen: een dobbelsteen en een uraniumkern hebben geen ‘leeftijd’. 

Als je het aantal dobbelstenen dat na een bepaald aantal worpen nog in leven uitzet tegen het aantal worpen, krijg je een exponentieel afvallende curve, zo ook bij het aantal overlevende uraniumkernen. Dat is zo als het aantal dat vervalt alleen evenredig is met het aantal aanwezige individuen. 

Dit geeft inzicht in de achtergrond van overlevingscurven van mensen. In verschillende bronnen (zie onder) zie je dat de manier waarop het aantal overlevenden van 100 geborenen afneemt met de leeftijd vroeger meer op een exponentiële curve leek dan nu. 

Survival curves
Tegenwoordig is er rond de leeftijd van 80 iets aan de hand: dan wordt de kans het volgend jaar te sterven veel groter dan de kans die een jonger iemand heeft het volgende jaar niet te halen. Mensen hebben nu een leeftijd. De overlevingscurve is niet exponentieel.Vroeger was dat anders! Iedereen liep een kans te sterven aan een infectie, een roofdier tegen te komen, of gedood te worden in een stammenstrijd. Dat hing niet af van je leeftijd. Je kreeg de kans niet ‘oud’ te worden, de kans te sterven door een toevalsproces was zo groot dat de intrinsieke veroudering van cellen nog geen rol speelde. Dat is de reden waarom de overlevingscurven veel meer op een exponentiële functie lijken.

Direct Bestellen